אינסוף, המסע שאינו נגמר - חיים שפירא
הוצאת כנרת, זמורה ביתן. 383 עמ'.
תמצית אפשרית לספר הזה היא: "אין
סוף לאינסוף".
"כי סוף-סוף, האדם בטבע מהו? אין
לעומת האינסוף,
הכול לעומת האין, אמצע בין לא כלום ובין
הכול,
רחוק עד אינסוף מלהבין את הקצוות."
בלז פסקל
הקדמתי כאן את המאוחר כיון שאני כבר
מגיעה כאן לתובנות שאפשר להפיק מהלימוד על האינסוף.
בהרצאה ששמעתי פעם, של חב"דניק
דווקא, הוא הסביר כך: אל מול האינסוף (שמבחינתו זה האלוהים, כמובן), אין הבדל בין
כמה שאת התקדמת למטרה לבין מישהו אחר שכמעט ולא זז. כל תזוזה שאנו עושים, כמה
שאנחנו חושבים שהשגנו המון בחיים שלנו, (או להפך), אל מול האינסוף אין משמעות
להבדל הזה שבין אחד ש"הגיע רחוק" לבין מישהו אחר, שלא. זה מוביל למקום
של צניעות. זה מוביל לאפשרות לראות את הדברים באופן רב-ממדי, להיות מסוגל כל הזמן
לשנות את ה'זום' כדי להבין איפה אני ממוקם במרחב, להתקדם, ועם זאת, לא להיכנס
לאשליה של גדלות מזויפת.
חיים שפירא הוא בעל תארי דוקטור
במתמטיקה ובהוראת מדעים. הוא מלמד מתמטיקה, כלכלה, פסיכולוגיה ספרות ופילוסופיה.
בנוסף, הוא מרצה בחסד עליון, משעשע ביותר מבלי לוותר על שליטה בחומר.
ב'פתח דבר' לספרו מסביר שפירא כי החליט
לנסות לכתוב ספר שיציג בצורה פשוטה ובהירה אסטרטגיות בחשיבה מתמטית, יאפשר לקורא
לנסות את כוחו בפתרון בעיות מתמטיות מרתקות ויערוך היכרות עם שתי תורות מתמטיות
בעלות יופי רב: "תורת המספרים" ו"תורת הקבוצות האינסופית".
בנוסף הבטיח שפירא לשוות לטקסט נימה
קלילה ומשעשעת, "הרי איש לא באמת אוהב שאלות על בריכה ששלושה ברזים ממלאים
אותה ושני ברזים (מסיבות הידועות רק להם) מנסים לרוקנה בו זמנית".
כשאני חוזרת כעת, בסיום הקריאה, אל
הפתיח הזה, אני נדהמת לגלות, שאכן הספר קיים את כל מה שהבטיח, ויותר מזה.
בניגוד לספרי מדע פופולרי אחרים שקראתי,
זהו ספר שמהווה חדר כושר למוח. כך לפחות זה היה עבורי. הספר בהחלט לא הווה 'קריאה
נינוחה', הוא דרש עבודה. ואולי זה משום שלא ויתרתי לעצמי ובאמת ניסיתי לפתור את
התרגילים, להבין את הדוגמאות, באמת לצלול בתוך העולם הקסום של המתמטיקה. במהלך
הקריאה הרגשתי איך אני מנקה את החלודה מהגלגלים במוח, שכבר התרחקו מהתקופה שבה
ישבתי עם דף ועט ופתרתי תרגילים. מצחצחת את המיסבים במוח וזה יכול להיות אפילו קצת
כאוב.
אבל עשיתי זאת, ושרטטתי צורות ופתרתי
משוואות, ובאופן כללי הייתי תלמידה די חרוצה עם הספר.
התגמול לעבודה הוא גדול.
הספר איפשר לי להבין דברים במתמטיקה ברמה
שכבר לא ציפיתי להשיג בשכלי. קבוצת קנטור, רמות של אינסוף – רמות של אינסוף! עצם
הרעיון שיש אינסופים קטנים ואינסופים יותר גדולים, פשוט מאלף. כמו, למשל, התובנה
הזו על האינסוף: גם על הקו הישר האינסופי, המרחק בין כל שתי נקודות תמיד סופי,
וכפי שאמר הגל, האינסוף לא נמצא בשום מקום על הישר האינסופי. האינסוף לא ממוקם על
האינסופי. אז איפה הוא מתחבא??? זה פשוט מופלא בעיני. כל זה לכשעצמו משמח ביותר
וכמובן שזה מצדיק שאפו גדול לשפירא.
שפירא מבטיח בתחילת הספר שהספר יעשה
שימוש רק בארבע הפעולות הבסיסיות של החשבון, "אך מחשבה עמוקה תתקבל
בברכה". טוב, אמרתי לעצמי, ארבע פעולות בסיסיות אני בהחלט שולטת, הייתי לגמרי
לא רעה במתמטיקה בתיכון, אמנם זה לא היה אתמול, ומחשבה עמוקה אני מוכנה להשקיע בעניין.
בהמשך הסתבר ששפירא קצת "עבד" עלינו. הספר דורש חשיבה אבל יותר מזה בהחלט
כדאי לבוא עם רקע מתמטי קודם. בכלל, עולה השאלה, למי מיועד הספר? האם סטודנטים
למתמטיקה ימצאו צורך בספר כזה? האם מי שאינם לומדים מתמטיקה יוכלו להתמודד עם כל
הנוסחאות האלה? (לקח לי כמה רגעים להיזכר מה זה 'מחלקים של מספר'!)
אז למה לקרוא ספר גדוש בנוסחאות
ותרגילים שהסופר משאיר לקורא לפתור (בלי נספח תשובות – מה שהיה מתבקש ונכון לעשות!
וחבל שלא נעשה) ?
בגלל דברים כמו הציטוט להלן:
"ובכן, למה אני מדבר על דברים כאשר
אינני יודע מה באמת פירושם?
כנראה שהדבר כך מפני שאני מתמטיקאי,
ולמתמטיקאים לא ממש אכפת
מדברים כאלה. אין הם זקוקים להגדרות
מדויקות של הדברים שהם
מדברים עליהם, בתנאי שהם יכולים לומר
משהו על אודות הקשרים ביניהם."
סר רוג'ר פנרוז.
ובכן, אני אולי לא לגמרי מבינה או יודעת
מה פירוש הדברים שקראתי, אבל משהו על אודות הקשרים בין הדברים, קיבלתי. וכבונוס,
גם מחשבות על אינסופים פחות מתמטיים, יותר פילוסופיים או ספרותיים.
הפרק האחרון עם הפרקטלים-מרהיב, גם
מבחינת התובנות, וגם מבחינה אסתטית. שום דבר איננו מה שהוא נראה, ככל שממקדים את
נקודת המבט יותר פרטים נגלים, מה שנראה כקו ישר מתברר כבעל צורה גיאומטרית, בכל
פעם שעושים "Zoom in" מגלים את הצורה הגיאומטרית חוזרת על עצמה שוב
ושוב. קו חוף סופי הופך לבעל גודל אינסופי.
"עננים אינם כדורים, הרים אינם
חרוטים, קווי חוף
אינם מעגלים, קליפת העץ אינה חלקה, וגם
הברק
אינו חוצה את השמים בקו ישר."
בנואה מנדלברוט
אם קודם דיברנו על סופיות של קטעי קווים
שנמצאת על קו האינסוף, כאן אורך אינסופי מתחבא בתוך המימד הסופי. המערבולת הזו, או
הזום הזה פנימה והחוצה, בין המדוד, הברור, לבין הפרא הטרנצנדנטי המתחבא בתוכו, היא
מרהיבה. האפשרות של המתמטיקאים להפוך את הקסם הזה של השפן הנשלף ומוחזר אל הכובע,
לנוסחאות מתמטיות ולאפשר לחשב אותן או לשרטט אותן, תמיד הדהים אותי. אין זה ממעיט
מהפלא הזה.
"לראות עולם בגרגר של חול
ושמים בפרח בר,
לחפון אינסוף בכף היד,
ואת הנצח בשעה."
ויליאם בלייק.
לסיום, כמה הערות: הספר מלווה באיורים
מקסימים של דני קרמן. חסרים בספר נספח תשובות לתרגילים, וכן מפתח שמות האישים
הנזכרים בו והפניה לעמודים שבהם הם נזכרים, שהכנתי לעצמי ואצרף לתועלת הקוראים.
ובשביל הכייף, כמה פרקטלים מרהיבים:
==============
אינסוף – מפתח שמות
==============
אדואר לוקה 31, 62, 133, 205
אדריאן מרי לז'נדר 121, 170
אוקלידס 100
אל חוואריזמי 318
אלן קנינגהם 126
אמי נטר 122
אנדרו ויילס 172
אנכסימנדרוס 223
אנרי לואי ברגסון 250
ארטוסתנס 160
ארכימדס 290
ארנסט קומר 170
בלז פסקל 155, 189
בנואה מנדלברוט 344
ברטרנד ראסל 323
גולדבך
127
ג'ון ליטלווד 38, 72
ג'ון פון ניומן 47
ג'ון קונווי 25
גיאורג קנטור 258-264, 309, 314-315, 320, 332, 338
גלואה
195
גליליאו גליליי 298
גרד פלטינגס 171
גריגורי פרלמן 251
דאגלס הופשטטר 14, 128, 178, 179
דויד הילברט 319
דיריכלה 112, 170
היפטיה
122
הרדי
69, 72
ויגו ברון 119
וצלב סרפינסקי 347
ז'ול רישאר 323
זנון 234-250,
314
ז'ק בינה 145
יעקב ברנולי 214
לאון ברנולי 211
לאונרד אוילר 111, 127, 158, 170, 209
לאונרדו דה וינצ'י 95
לואיס קרול 43, 139, 176
לותר קולץ 15
מריה גאטנה אנייסי 124
מרסן
106
ניוטון
155
סופי ז'רמן 125
סופיה קובלבסקאיה 122
סטניסלב אולם 113
סם לויד 138
סריניווסה רמנוג'אן 69
פול ארדש 16
פון קוך 341
פיבונאצ'י 130
פידיאס
143
פייר ונצל 159
פייר פרמה 58, 155
פיתגורס 51, 80, 224
צרמלו 320
קורט גדל 320
קסיני 137
קפרקר
76
קרל מנגר 349
קרל סאגאן 291
קרל פרידריך גאוס 159
רוג'ר פנרוז 330
ריימונד סמוליאן 42
רימן
181
רנה דקארט 58, 155
תומס הובס 92
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה